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t-Test für unabhängige Stichproben


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1. Einführung
2. Vorgehen
3. t-Test mit SPSS
4. SPSS
5. Literatur

1. Einführung

Ein t-Test für unabhängige Stichproben lässt sich dann anwenden, wenn die Mittelwerte von zwei unterschiedlichen Stichproben miteinander verglichen und die Unterschiede auf Signifikanz getestet werden sollen. Dieser t-Test eignet sich damit zur Untersuchung einer Unterschiedshypothese zwischen zwei unabhängigen Stichproben. Die zu testende Variable sollte dabei intervallskaliert (LINK zu Skaleniveau) und normalverteilt sein. Im Gegensatz zum t-Test für verbundene Stichproben müssen jedoch die Stichproben nicht gleich gross sein.

1.1. Mögliche Problemstellungen

Der t-Test für zwei unabhängige Stichproben findet dann Verwendung, wenn der Frage nachgegangen werden soll, ob sich zwei Gruppen nach einem bestimmten Merkmal (Konsumverhalten, soziale Einbindung, Stressresistenz, Einstellung gegenüber Sachfragen etc.) unterscheiden oder ob eine Experimentalgruppe gegenüber einer Kontrollgruppe andere Ergebnisse (Behandlungserfolg, Auswirkungen bestimmter Tests etc.) aufweist. So eignet sich dieser t-Test für Fragen wie „Unterscheidet sich das Konsumverhalten von Männer und Frauen?“ oder “Reagieren die Experimentalgruppe und die Kontrollgruppe unterschiedlich auf die Behandlungsmethode?“

2. Vorgehen

2.1 Hypothesenformulierung

Das Vorgehen bei der Durchführung eines t-Tests für zwei unabhängige Stichproben wird an einer möglichen Fragestellung aus dem Bereich Marketing erklärt.

Eine Probandengruppe, welche ungefähr zur Hälfte aus Männer und zur Hälfte aus Frauen besteht, wird befragt, wie sie die Qualität eines bestimmten Produktes auf eine Skala von 0 bis 10 beurteilt, wobei 0 bedeutet „sehr schlecht“ und 0 „sehr gut“. Folgender Forschungsfrage soll nachgegangen werden: Beurteilen Frauen und Männer die Qualität des Produktes unterschiedlich?

Ziel dieser Untersuchung ist es zu analysieren, ob die Produktqualität Männer und Frauen gleichermassen anspricht.

2.1 Hypothesenformulierung

Um die Forschungsfrage statistisch zu überprüfen, werden Hypothesen aufgestellt. Es soll damit möglich sein zu klären, ob der Unterschied in den Stichprobenmittelwerten auf die hinter den Stichproben stehende Grundgesamtheit verallgemeinert werden kann.

Die Nullhypothese und die Alternativhypothese lauten wie folgt:

H0: μ1=μ2Die Mittelwerte der beiden Grundgesamtheiten unterscheiden sich nicht.
HA: μ1≠μ2

Die Mittelwerte der beiden Grundgesamtheiten unterscheiden sich.

2.2 Berechnung der Teststatistik

Zur Überprüfung der Hypothese werden Daten herangezogen (vgl. Tabelle 1: Beispieldaten).

Tabelle 1: Beispieldaten

Tabelle 1: Beispieldaten

 

Anhand der Mittelwerte aus Tabelle 1: Beispieldaten kann vermutet werden, dass Frauen und Männer die Produktqualität unterschiedlich beurteilen. Mit Hilfe des t-Tests lässt sich nun überprüfen, ob dieser Unterschied auch statistisch signifikant ist.

Die Namensgebung dieses Testes begründet auf der Teststatistik, welche unter Gültigkeit der Nullhypothese t-verteilt ist. Die Teststatistik t lässt sich wie folgt darstellen:

t-Test unabhängige_verbundene-stichproben-abb2.2-1

Zähler und Nenner lassen sich dabei folgendermassen berechnen:

t-Test unabhängige verbundene-stichproben-abb2.2-2

Mit Sx – x =Standardabweichung der Differenz der Mittelwerte
Xk=Mittelwert der Variable k

Hinweis: Die Prüfgrösse bei einem t-Test mit zwei unabhängigen Stichproben ist mit (n1 + n2 – 2) Freiheitsgraden t-verteilt.

Die berechnete Teststatistik muss anschliessend mit dem kritischen Wert der durch die Freiheitsgrade bestimmten Verteilung der Prüfgrösse verglichen werden.

2.3 Durchführung des Hypothesentestes

Eine weitere Voraussetzung des t-Tests für zwei unabhängige Stichproben ist die Homogenität der Varianzen der beiden Stichproben (s21≈s22). Beim Vergleich der Teststatistik mit dem kritischen Wert ist es deshalb wichtig zu beachten, ob die Varianzen der beiden Stichproben gleich sind und damit Varianzhomogenität vorliegt.

  1. Test auf Varianzhomogenität:Die Bedingung der Varianzhomogenität lässt sich mit Hilfe des Levene-Tests überprüfen, der eine Erweiterung eines einfachen F-Tests darstellt (LINK zu F-Test). Ist die Voraussetzung der Varianzhomogenität verletzt, müssen die Freiheitsgrade der Teststatistik angepasst werden. Hinweis: Der Levene-Test ist im Vergleich zum F-Test gegenüber Verletzungen der Normalverteilungsannahme robuster.
  2. Prüfung auf Signifikanz: Nach dem Test auf Varianzhomogenität kann die berechnete Teststatistik auf Signifikanz überprüft werden. Der berechnete t-Wert wird hierzu mit dem kritischen Wert der Teststatistik verglichen.

3. t-Test mit SPSS

Die folgenden Abbildungen zeigen die Ergebnisse des t-Tests in der Reihenfolge wie SPSS sie ausgibt. Aus der Abbildung 1: Gruppenstatistiken lassen sich die Stichprobengrösse, der Mittelwert und die Standardabweichung der Stichproben ablesen.

Abbildung 1: Gruppenstatistiken

Abbildung 1: Gruppenstatistiken

1. Test auf Varianzhomogenität:

Der Test auf Varianzhomogenität strebt eine Beibehaltung der Nullhypothese an, dass heisst der F-Wert sollte nicht signifikant werden. Für das Beispiel gibt SPSS einen F-Wert von 1.864 und eine dazugehörige Signifikanz (p-Wert) von .173 aus (vgl. Abbildung 2: Test auf Varianzhomogenität). Die ausgegebene Signifikanz von .173 ist grösser als das Signifikanzniveau von α =.050, sodass davon ausgegangen werden kann, dass Varianzhomogenität vorliegt.

Abbildung 2: Test auf Varianzhomogenität

Abbildung 2: Test auf Varianzhomogenität

2. Prüfung auf Signifikanz:

SPSS gibt für das Beispiel einen t-Wert von -3.834 aus (vgl. Abbildung 3: Teststatistik). Dieser Wert muss nun noch auf Signifikanz überprüft werden. Da festgestellt wurde, dass Varianzhomogenität vorliegt, muss das Signifikanzniveau bei SPSS aus der Zeile „Varianzen sind gleich“ abgelesen werden. Für das Beispiel wird eine Signifikanz (p-Wert) von .000 ausgegeben. Dieser Wert liegt unter dem Signifikanzniveau von .050, so dass davon ausgegangen werden kann, dass sich die Mittelwerte nach Geschlecht signifikant unterscheiden.

Abbildung 3: Prüfung auf Signifikanz

Abbildung 3: Prüfung auf Signifikanz

Hinweis: Ob eine Nullhypothese verworfen werden kann oder nicht, hängt unter anderem von der Varianz und der Stichprobegrösse n ab. Eine grosse Stichprobe kann dazu führen, dass ein Test schneller signifikant wird. Ist die Teststatistik signifikant, so stellt sich die Frage, ob die Ergebnisse auch praktisch relevant sind. Hierfür eignet sich das Mass der Effektstärke, welches einerseits erlaubt, Aussagen über die praktische Relevanz eines signifikanten Testergebnisses zu machen und anderseits von der Stichprobengrösse n kaum beeinflusst wird.

Zur Messung der Effektstärke hat sich Cohens d nach Cohen (1992) etabliert. Eine Berechnung von Cohens d ist mittels SPSS nicht möglich. Dieses lässt sich jedoch mit Hilfe des Programms G*Power (LINK zu Programm) kalkulieren.

4. SPSS

Klicksequenz: Analysieren > Mittelwerte vergleichen > t-Test für unabhängige Stichproben
Hinweis: Die Gruppenvariable (grouping variable) dient der Zuordnung zur jeweiligen Stichprobe.
Syntax: T-TEST GROUPS

5. Literatur

Field, Andy (2009). Discovering Statistics Using SPSS. 316-346.
Cohen, Jacob (1992). A power primer. Psychological Bulletin, 112: 155-159.

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