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t-Test für zwei verbundene Stichproben


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1. Einführung
2. Vorgehen
3. t-Test with SPSS
4. SPSS-Commands
5. Literatur

1. Einführung

Ein t-Test für zwei verbundene Stichproben lässt sich dann anwenden, wenn die Mittelwerte von zwei Messungen oder von Beobachtungspaaren miteinander verglichen und die Unterschiede auf Signifikanz getestet werden sollen. Dieser t-Test eignet sich damit zur Untersuchung einer Unterschiedshypothese zwischen zwei verbundenen Stichproben. Die zu testende Variable sollte dabei intervallskaliert (LINK zu Skaleniveau) und normalverteilt sein. Als weitere Bedingungen müssen beim t-Test für verbundene Stichproben die zwei Stichproben gleich gross sein.

Hinweis: Bei zwei verbundenen Stichproben werden die Objekte entweder einander paarweise zugeordnet oder ein Beobachtungsobjekt wird wiederholt untersucht. Bei einem t-Test für verbundene Stichproben kann somit jedes Objekt der einen Stichprobe einem Objekt der zweiten Stichprobe zugeordnet werden. Daher wird auch von „abhängigen Stichproben“, „gepaarten Stichproben“ oder einem „Paarigen-Zwei-Stichproben-t-Test“ gesprochen.

1.1. Mögliche Problemstellungen

Meistens wird diese Art von Test angewendet, um eine Gruppe vor und nach einer Behandlung oder vor und nach einem bestimmten Verfahren auf Unterschiede hinsichtlich einer Testvariable zu untersuchen. Zudem findet der t-Test für verbundene Stichproben bei Beobachtungspaaren Verwendung, wenn zum Beispiel bei Ehepaaren die männlichen und die weiblichen Ehepartner miteinander verglichen werden. So eignet sich dieser t-Test für Fragen wie „Unterscheidet sich das Reaktionsvermögen der Probanden vor und nach Einnahme eines Medikamentes?“ oder „Unterscheidet sich das Konsumverhalten von Ehepartner?“.

2. Vorgehen

2.1 Hypothesenformulierung

Das Vorgehen bei der Durchführung eines t-Testes für zwei verbundene Stichproben wird an einer möglichen Fragestellung aus dem Bereich Marketing erklärt.

Eine Probandengruppe wird vor und nach dem Betrachten eines Werbefilmes über ein bestimmtes Produkt befragt, wie sie die Qualität dieses Produktes auf einer Skala von 0 bis 10 beurteilt, wobei 0 bedeutet „sehr schlecht“ und 0 „sehr gut“. Folgender Forschungsfrage soll nachgegangen werden:

Hat das Vorführen des Werbefilms einen Einfluss auf die Beurteilung der Produktqualität?

Ziel dieser Untersuchung ist es zu analysieren, ob die Vorführung des Werbefilmes einen Effekt auf die Beurteilung der Produktqualität hat.

2.1 Hypothesenformulierung

Um die Forschungsfrage statistisch zu überprüfen, werden Hypothesen aufgestellt. Es soll damit möglich sein zu klären, ob der Unterschied in den Stichprobenmittelwerten auf die hinter den Stichproben stehende Grundgesamtheit verallgemeinert werden kann.

Die Nullhypothese und die Alternativhypothese lauten wie folgt:

H0: μ1=μ2 Die Mittelwerte der beiden Grundgesamtheiten unterscheiden sich nicht.
HA: μ1≠μ2 Die Mittelwerte der beiden Grundgesamtheiten unterscheiden sich.

2.2 Berechnung der Teststatistik

Zur Überprüfung der Hypothese werden Daten herangezogen. (vgl. Tabelle 1: Bespieldaten).

Tabelle 1: Beispieldaten

Tabelle 1: Beispieldaten

Anhand der Mittelwerte in Tabelle 1: Beispieldaten kann vermutet werden, dass sich die Beurteilung der Produktqualität vor und nach der Vorführung des Werbefilmes unterscheiden. Mit Hilfe des t-Tests lässt sich nun überprüfen, ob dieser Unterschied auch statistisch signifikant ist.

Die Namensgebung dieses Testes begründet auf der Teststatistik, welche unter Gültigkeit der Nullhypothese t-verteilt ist. Die Teststatistik t lässt sich wie folgt darstellen:

t-Test verbundene-stichproben-abb2.2-1

Zähler und Nenner lassen sich dabei folgendermassen berechnen:

t-Test verbundene-stichproben-abb2.2-2

Mit
Sd = Standardabweichung der Differenz der Messwertpaare
Xd = Mittelwert der Differenz der Messwertpaare

Aus der Differenz der Messwertpaare in der Formel wird deutlich, dass die Stichproben verbunden sind. Jedem Testwert aus der einen Stichprobe kann genau ein Testwert aus der anderen Stichprobe zugeordnet werden.

Hinweis: Es ist also sehr wichtig, dass in SPSS die Werte eines Beobachtungspaares in der gleichen Zeile eingetragen sind, damit SPSS die Testwerte richtig zuordnet.

2.3 Durchführung des Hypothesentests

Durch den Vergleich der berechneten Teststatistik mit dem kritischen Wert der durch die Freiheitsgrade bestimmten Testverteilung kann die Signifikanz überprüft werden. Im Falle eines t-Tests mit verbundenen Stichproben wird der berechnete t-Wert dem kritischen Wert auf der theoretischen t-Verteilung gegenübergestellt.

3. T-test with SPSS

The following figures show the results of the t-test in the order in which SPSS outputs them.

Fig. 1: Sample Statistics

Fig. 1: Sample Statistics

From Fig. 1: Sample statistics show the mean and standard deviation of the before and after tests.

Fig. 2: Test Statistics

Fig. 2: Test Statistics

From Fig. 2: Test statistics show the test statistic and the corresponding significance. SPSS outputs a t-value of -3.811 for the sample data. This value must be tested in a further step for significance. A significance (p-value) of .000 is given in the example. This value is below the significance level of α = .050, so it can be assumed that the mean differs significantly before and after the viewing of the commercial.

Note: Whether a null hypothesis can be rejected or not depends on variance and the sample size n. A large sample can lead to the test becoming significant faster. If the test statistic is significant, the question arises whether the result will also be practically relevant. To determine this, a measure of the effect size is well suited, which allows an estimation of the practical relevance of a significant test result and is only marginally affected by sample size n.

The measurement of the effect size is established by Cohen’s d according to Cohen (1992). Cohen’s d cannot be calculated using SPSS. This can however be calculated using the program G*Power (LINK to program).

4. SPSS-Commands

Sequence: Analyze > Compare Means > Paired Samples t-test

Syntax: T-TEST PAIRS

5. Literatur

Field, Andy (2009). Discovering Statistics Using SPSS. 316-346.
Cohen, Jacob (1992). A power primer. Psychological Bulletin, 112: 155-159.

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